Das L-Culator-Tutorial

Eine rasche Einführung in den Spulenrechner

Version: 23.3.2026

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Inhalt:

1. L-Culator: Die Probe aufs Exempel
2. Magnetfeld und Induktion
3. Die zylindrische Spule
4. Die Eingabefelder des L-Culators
5. Weitere Eigenschaften der Wicklung
6. Wie funktioniert der L-Culator?
7. Feldstärke und Induktivität berechnen
8. Schwingkreise
9. Wicklungsrekonstruktion durch Messung des Magnetfelds
10. Der legendäre Fahrtrichtungsumschalter der Märklin-Eisenbahn: Relaisspule durch Resonanz ausmessen
11. Nicola Teslas drahtlose Energieübertragung: wäre sie realisierbar gewesen? Wir rechnen nach.

Die Probe aufs Exempel

Mit der Hall-Sonde eines Präzi­sions-Gauss­meters (Lake­shore 410) wird hier die magne­tische Induk­tion B im Zentrum einer Zylinder­spule gemessen. Zunächst wird der Sensor genau parallel zur Spulen­achse ausge­richtet und im Mitte­lpunkt positio­niert. Das Gauss­meter wird auf Null einge­stellt. Sobald ein Erreger­strom von 1,00 A einge­schaltet wird, zeigt das Instru­ment B = 15,42 mT an.

Die Spulen­daten werden in den L-Culator einge­geben: Außen­durch­messer der Wick­lung: 4,9 cm, Innen­durch­messer: 2,9 cm, axiale Länge der Wick­lung: 2,2 cm, Windungs­zahl: 527, Draht­sorte: 0,6-mm-Kupfer­lack­draht. Der berech­nete Wert ist 15,63 mT.

PhET, die inter­aktive Simu­lation zu Magne­tismus u.v.a. wird online und kosten­frei von der Univer­sity of Colo­rado, Boulder angeboten. Hier lassen sich prinzi­piellen Zusammen­hänge am eigenen Computer­bild­schirm auspro­bieren und nachvoll­ziehen.

Magnetfeld und Induktion

Tesla ist nicht nur eine Auto­marke. Es ist auch die Maßein­heit der magne­tischen Induk­tion B. Land­läufig bezeich­net man das auch als magne­tische Feld­stärke.
Doch tatsäch­lich sind magne­tische Induk­tion und Feld­stärke zwei verschie­dene Dinge. Die Induk­tion B gibt die Fähig­keit des Magnet­feldes an, in einem elektri­schen Leiter eine Span­nung zu indu­ieren. Dagegen ist die Feld­stärke H die Wirkung eines elektri­schen Stromes, der durch einen Draht oder eine Spule fließt. Die Feld­stärke gibt man des­halb nicht in Tesla, sondern die Ampère pro Meter, als das Viel­fache der Stärke einer Feld­linie mit 1 Metern Länge, die von 1 A Erreger­strom erzeugt wird.

Im leeren Raum ist beides aller­dings synonym. Die magne­tische Induk­tion ist dort zur magne­tischen Feld­stärke strikt propor­tional:

B = µ₀H

Hierbei ist µ₀ = 1,256 10^-6 Vs/Am die Permea­bilitäts­konstante des Vakuums. Wenn aller­dings ferro­magne­tische Stoffe im Spiel sind, Eisen oder Ferrit, dann wird die Sache kompli­zierter. Diese Stoffe haben nicht nur eine spezi­fische relative Permea­bilitäts­zahl µ_r > 1, die die magne­tische Induk­tion gegen­über der Feld­stärke herauf­setzt, sie verändern auch den Verlauf der Feld­linien im Raum.

Im freien Raum entspricht eine magne­tische Feld­stärke von H = 1 A/m also einer magne­tischen Induk­tion von B = 1,256 10^-6 Vs/m² oder 1,256 µT (Mikro-Tesla).
Das ist aller­dings ziemlich wenig. Das Magnet­feld der Erde zum Beispiel hat in unseren Breiten eine Induk­tion von knapp 40 µT.

Die zylindrische Spule

Dies gilt auch in einer Spule, die aus einer Wicklung der Länge L mit N Windungen Kupferdraht besteht, und durch die man einen Strom I schickt. Die Feldstärke H in dieser Spule beträgt ungefähr

H = N I / L

Die magnetische Induktion beträgt dann

B = µ₀ N I / L

Hierin dient L zugleich als die Länge der magne­tischen Feld­linien, die den Innen­raum der Spule durch­dringen und sich außer­halb wieder schließen. Man könnte also sagen, dass in einer zylind­rische Spule, die N = 100 Windungen und eine Länge L_c = 1 cm hat, bei einem Strom von I = 1 A eine magnetische Feldstärke von 10.000 A/m und eine Induktion von 12,56 mT besteht. Das aber ist eine sehr schlechte Näherung der wahren Verhält­nisse.

Wir stellen uns die Wicklung, die aus vielen, dicht gewickelten Draht­windungen besteht, als ein massives Rohr oder als einen Ring mit rechteckigen Querschnitt vor, mit Länge L, Außendurch­messer D₁, Innendurch­messer D₀. Auf dem Umfang fließt gleichmäßig verteilt der Erregerstrom aus den N Windungen kreis­förmig um die Spulenachse. Die Feldlinien verlaufen durch das Rohr beziehungs­weise durch die Öffnung des Rings hindurch.

Die höchste Feld­stärke entsteht in der Mitte der Öffnung des Rings, und zwar genau in der Mitte. Sie nimmt zu den Enden hin stetig ab. Auch außen und neben der Spule wird die Feld­stärke nicht zu Null, denn die Feldlinien müssen dort ja wieder zur anderen Seite zurück­laufen. Die korrekte Lösung dieses Problems ist als das Ampèresche Gesetz seit fast 200 Jahren bekannt. Doch muss man, um es anzuwenden, ein kompli­ziertes Integral lösen. Das verlangt ein Stück höhere Mathematik.

Die Eingabefelder des L-Culators: Zeilen 5 bis 15

Alle Eingaben erfolgen ausschließlich in die gelb unterlegten Felder des Rechen­blatts. Außen- und Innendurchmesser sowie die Länge der Kupferwicklung (gemessen in Richtung der Spulenachse) werden in die Zeilen 5, 6 und 7 eingetragen. Die Windungs­zahl kommt in Zeile 9. Der Errege­rstrom in der Spule kommt in Zeile 10. Für die Feld­berechnung genügen diese Daten schon. Als Frequenz des Stroms wird "0" angegeben: Gleichstrom.

Für zusätzliche Infor­mationen wird der spezifische Widerstand des Leiter­materials, hier "1,70 10^-8" Ωm für Kupfer (bei 25 °C) in Zeile 8, der Draht­durchmesser in Zeile 12, sowie, wenn HF-Litze verwendet wurde, die Zahl der Einzel­drähte in Zeile 13 engetragen. Das ist hier nicht der Fall, weshalb dort der Wert "1" steht. Zeile 14 enthält die erwartete Betriebs­temperatur der Spule. Der Widerstand von Kupfer nimmt mit der Temperatur zu.

Der Wert "1" cm in Zeile 15 gibt den Abstand eines Punktes von der Spulenmitte entlang der Achse an, an dem eine zusätzliche Berechnung des magne­tischen Feldes durchgeführt werden soll. Dadurch erfährt man, wie schnell das Feld nach außen abnimmt.

Alle weiteren Zeilen auf der ersten Seite des Rechen­blatts sind berechnete Ergebnisse wie zum Beispiel die Feldstärke bei gegebenem Strom, die Induktivität, der Schein­widerstand und vieles mehr. Zeilen mit Angaben, die Sie nicht weiter interessieren, können Sie wie bei jedem MS-Excel-Dokument selbstver­ständlich in ihrer instal­lierten Version ausblenden. Dazu bitte mit der rechten Maustaste auf die Zeilennummer (ganz links im Rechenblatt) klicken und Option "Zeile ausblenden" wählen. Dadurch wird die Sache übersicht­licher.

Weitere Eigenschaften der Wicklung: Zeilen 17 bis 29

Diese Sektion gibt weitere Eigenschaften der Spule an, die äußerst nützlich sind.

Zeile 17 gibt an, wieviel Meter Draht für die Wicklung überhaupt benötigt werden. Der Kupfer­quer­schnitt des Drahtes ist (auch bei HF-Litzen) in Zeile 18 angegeben. Daraus ergibt sich der Schein­widerstand der Spule, Zeile 21, und der rein ohmsche Widerstand, Zeile 23. Der Schein­widerstand berücksichtigt neben dem ohmschen zusätzlich den induktiven Anteil, wenn die Spule also mit Wechsel­strom gespeist wird. Auch die Abhängigkeit des ohmschen Wider­standes von der Betriebs­temperatur ist einkal­kuliert, sowie (bei Wechselstrom) der Skin-Effekt in den Drähten, der den ohmschen Widerstand ungünstig erhöht.

Eine wichtige Zahl ist der Kupfer-Füllgrad in Zeile 25. Er gibt an, wieviel Prozent des geome­trischen Wicklungs­quer­schnitts der Spulendraht ausfüllt. Bei einer effizienten Bemessung der Spule sollten hier 60 bis 70 Prozent stehen. Ist es weniger, dann ist der Kupfer­querschnitt zu klein gewählt. Der ohmsche Widerstand ist dann unnötig groß. Eine Spule, die eine bestimmte Feldstärke erzeugen und den entsprechend hohen Erreger­strom durchleiten muss, erzeugt dann unnötig viel Wärme. Ist er größer als 70 Prozent, dann wird der Wickeldraht nicht in den geplanten Querschnitt hinein­passen. Man muss die Wicklung dann dicker oder länger machen. Das führt dazu, dass die magne­tischen Feldlinien einen größere Länge L haben und dass die magnetische Feldstärke bei gegebenem Strom geringer ausfällt als erwartet.

Wie funktioniert L-Culator?

Hier kommt nun der L-Culator ins Spiel. In diesem MS-Excel-Rechen­blatt ist die exakte Lösung implemen­tiert, zumindest soweit es zylindrische Spulen betrifft, und sofern diese keinen ferromag­netischen Kern haben. Man gibt hier Innen- und Außendurch­messer, Länge und Windungszahl der Wicklung ein sowie die Strom­stärke, und schon erhält man für die magnetische Feldstärke und die Induktion im Zentrum der Spule sowie an einer beliebigen Position entlang ihrer Mittelachse.

Das berechnete Ergebnis ist auch dann noch exakt, wenn die Spule extrem lang und dünn ist, oder wenn sie um eine sehr flache, scheiben­förmige Bauform hat. Man kann in Büchern und Internet­seiten zur Elektro­technik Näherungs­lösungen finden. Diese versagen jedoch in solchen Situationen, da sie implizit gewisse Annahmen über die Spulenform machen, die im einen oder anderen Extremfall ungültig werden.

Ebenso verhält es sich mit der Induktivität der Spule, eine Größe, die vor allem bei Wechsel­strom­betrieb, Hochfrequenz­spulen und in Schwing­kreisen von zentraler Bedeutung ist. Wie die Feldtärke, die eine Spule in ihrem Innern erzeugt, ist auch ihre Induktivität eine Funktion der Spulenform und der Windungszahl (Wir sehen von Spulen mit Eisen- oder Ferritkern ab und betrachten allein "Luftspulen"). Das zu berechnende Integral ist nochmals um ein Vielfaches komplizierter. Aber auch hier bietet der L-Culator eine wenn auch nicht exakte, aber doch in den schwierigen Grenzfällen sehr genaue Näherungs­lösung des Problems an.

Feldstärke und Induktivität berechnen: Zeilen 36 bis 57

Zeile 36 und 38 geben die magnetische Feldstärke und Induktion im Zentrum der Spule bei der vorge­sehenen Stromstärke an, wobingegen die in Zeile 39 und 42 erscheinenden Werte sich auf einen Punkt der Spulenachse beziehen, der vom Spulen­zentrum den in Zeile 15 eingetra­genen Abstand liegt. Wenn man diese Werte vergleicht, dann erfährt man, wie gleichförmig das erzeugte Magnetfeld ist. Das ist wichtig zu wissen, wenn man beispiels­weise ein ausgedehntes Bauelement in die Spule legen und einem möglichst konstanten Magnetfeld aussetzen möchte, wie zum Beispiel in diesem Experiment.

In Zeile 43 ist die Feldstärke noch einmal in logarith­mischen Einheiten angegeben, nämlich in dBµA/m, wie sie bei der Feldstärken­messung im Funkbetrieb üblich ist. Zeile 44 gibt noch einmal die Ausdehnung des Bereichs in der Spule an, innerhalb dessen die Feldstärke um nicht mehr als 10 % unter den Maximal­wert im Zentrum absinkt.

Schließlich gibt Zeile 48 die Induktivität der Spule an. Der berechnete Wert berück­sichtigt gewisse Korrekturen, die vor allem bei flachen Spulen ins Gewicht fallen. Beispiels­weise nimmt die magnetische Feldstärke (und damit die Dichte der Feldlinien) vom Zentrum der Spule zum Innenrand der Wicklung stets etwas zu, um dann im Innern der Wicklung auf Null zu sinken. Diese Randfelder tragen zur Indukti­vität der Spule bisweilen ganz erheblich bei.

Die weiteren Zeilen geben die Klemmen­spannung, Phasenver­schiebung zwischen Strom und Spannung, die induktive Zeit­konstante und die magnetische Blind­leistung an, die in der Spule zirkuliert (was vor allem in induktiven Leistungs­schaltungen erheblich sein kann), sowie die thermische Verlust­leistung der Wicklung. Ich habe dafür eine Frequenz von 1000 Hz in Zeile 11 eingetragen, denn sonst stünde hier fast überall Null.

Schwingkreise: Zeilen 60 bis 67

In der letzten Sektion geht es um Schwing­kreise, welche man mit der Spule aufbaut. Diese Daten hängen natürlich entscheidend von der Frequenz­angabe in Zeile 11 ab. Zunächst gibt Zeile 60 die Kapazität an, die man der Spule parallel­schalten müsste, um den Schwingkreis auf dieser Frequenz in Resonanz zu bringen. Für verlust­freie Spulen ergibt sich dieser Zusammen­hang aus der Thomsonschen Formel aus Frequenz und Induktivität. Der exakte Wert kann davon jedoch deutlich abweichen, da in einer realen Spule aufgrund des ohmschen Wider­stands und des Skin-Effekts Verluste entstehen. Diese Verschie­bung kalkuliert der L-Culator ein. Zeile 61 ist die maximal erreichbare Güte des Schwingkreises, und Zeile 63 der Resonanz­widerstand. Dieser ist zugleich der Arbeits­widerstand für eine Röhre oder einen Transistor, der den Schwingkreis in seiner Anoden- oder Kollektor­leitung hat und ihn ansteuern soll.

Zeile 64 gibt das magnetische Dipolmoment der strom­durchflos­senen Spule an. Dieses wird benötigt, um das magnetische Feld in einem gewissem Abstand von der Spule zu berechnen. Zeile 66 gibt dagegen die elektro­magnetische Leistung der Kugelwelle im Fernfeld an, die also im Hochfrequenz­bereich durch die Spule abgestrahlt würde, wenn man sie als Funkantenne eines Senders verwenden wollte. Diese Intensität ist in aller Regel außerordentlich klein, außer bei extrem hoher Frequenz.

Zeile 67 gibt nun wiederum die Induktions­spannung an, die man an der Spule messen würde, wenn man sie einem magnetischen HF-Feld der angegebenen Frequenz aussetzen würde, das eine Induktion von 1 µT hat.

Wicklungsrekonstruktion durch Messung des Magnetfelds

Eine unbekannte Wicklung analysieren

Diesen alten Schalen­kern, den ich aus dem Elektro­schrott ausgelötet habe, wollte ich gern reakti­vieren. Nach dem zerlegen fand ich, dass mindestens eine der beiden alten Wicklungen für meine Zwecke ganz o.k. sein könnte. "Ob die wohl 100 Windungen hat?" Nun, ich wollte sie nicht von Hand abwickeln, nur um die Windungen zu zählen. Doch mit Gaussmeter und L-Culator läßt sich das Problem auf elektrische Weise lösen.

Ich habe den Spulenträger mit der interes­samten Wicklung zunächst ausgemessen. Der Wickel­körper, der in zwei gleiche Kammern geteilt ist, hat einen Durchmesser von 1,05 cm und ist 0,35 cm breit. Die interes­sierende Wicklung hatte einen Außen­durchmesser von 1,55 cm. Ich habe sodann die Hall-Sonde des Gauss­meters in der Mitte dieser Spule justiert (genau wie oben) und Strom durch die Wicklung geschickt. Bei 1 A zeigte das Gaussmeter 8,43 mT. Alles klar.

Berechnung der Windunszahl

Die Maße der Spule trage ich in die Zeilen 5, 6 und 7 ein (grüne Pfeile). Die Stromstärke kommt in Zeile 10 (schwarzer Pfeil). Ich messe mit Gleichstrom. Also kommt in Feld 11 der Wert "0 Hz". Man kann im L-Culator nun nicht die gemessene Feldstärke einstellen, sondern, wenn Spulenmaße und Strom feststehen, eigentlich nur noch eine Windungs­zahl in Zeile 9 eintragen (blauer Pfeil) und so lange probieren, bis die magnetische Flussdichte in Zeile 38 stimmt (roter Pfeil). Mit 88 Windungen in Zeile 9 war ich am Ziel. 8,40 mT zeigte mir der L-Culator an.

Ein Nebenresultat: ich hatte die Drahtstärke mit der Schiebe­lehre zu 0,3 mm bestimmt. Das ist aber immer etwas ungenau. Ich kann das mit dem L-Culator auf zwei Wegen prüfen. Erstens: der Spulen­widerstand. Je dünner der Draht, desto höher ist bei gegebener Windunszahl der Widerstand. Zeile 21 und 23 zeigen 0,93 Ohm. Das konnte ich durch Spannungs­messung bestätigen. Zweitens: der Kupfer-Füllgrad der Kammer ergab 71 %, siehe Zeile 25. Das schien mir plausibel, zumal die Wicklung war ziemlich ordentlich und dicht aufgebracht worden.

Der Fahrtrichtungs-Umschalter von Märklin-H0-Lokomotiven - Rekonstruktion mittels Resonanz

Eine neue Aufgabe für eine alte Spule

Das Modell der Rangier­lok E63 von Märklin aus dem Jahr 1962, Artikel-Nummer 3001, mit dem Umschalt­relais. Bei diesem Modell schaltet er nicht zur den Motor um, sondern auch die Stirn­lampen. Es leuchten nur jene, die in Fahrt­richtung vorn liegen.

Unter Freunden der Modell­eisen­bahn aus den 1950 bis 1980er Jahren ist das Fahrt­richtungs-Umschalt-Relais in den Loko­motiven der Firma Märklin ein legen­däres Bauteil (blauer Pfeil). Dieses Relais besteht aus einer Spule, die auf einem U-förmigen Eisen­joch sitzt und magnetische einen kleinen Hebel bewegt, der die Kontakte des Schalters betätigt. Es zieht erst bei 20 bis 24 Volt an, bleibt aber zwischen 0 und 16 Volt inaktiv. Die Geschwin­digkeit der Lok läßt sich in diesem Bereich über den Fahrt­regler stufenlos regeln. Die Spule dieses Relais ist interes­sant, und wir fragen uns wozu man sie außerdem zu verwenden könnte, sei es mit oder ohne das Eisen­joch.
Denn seit ungefähr 1990 bietet Märklin ein attrak­tives digitales System zur Steuerung der Loko­motiven an, das noch zahl­reiche weitere Funktionen an der Lok auslösen kann wie zum Beispiel das Licht ein- und ausschalten, Fahrge­räusche erzeugen und ein Signal­horn betätigen. Seitdem ist das Relais auf den Eisen­bahn­anlagen obsolet, und viele Eisen­bahn­freunde haben es aus ihren Loko­motiven ausgebaut und durch einen digitalen Decoder ersetzt. Das war auch bei den älteren Lokomtiv­modellen möglich.
Infolge­dessen wurden seitdem und bis heute endlos viele arbeits­lose Relais auf den bekannten Auktions­platt­formen im Internet zum Verkauf angeboten. Ein Grund mehr, die Frage zu stellen: was kann man damit anfangen? Wir widmen uns dieser Frage, indem wir Aufbau und elek­trische Eigen­schaften der Spule unter­suchen.

Vorbereitung: Hierzu benötigt man neben einem Frequenz­gene­rator ein Ohm­meter und ein paar Klein­teile fürs Steck­brett, darunter einen Si-Transistor.

Das Eisen­joch nehmen wir aus der Spule heraus, wobei wir zuvor den unteren Anschluss­draht vorsichtig davon ablöten müssen. Bitte nicht abreißen, dann ist die Spule unbrauch­bar! Ich habe das sensible Draht­ende, um Kontakt zu erhalten, an ein Stückchen selbst­klebende Kupfer­folie angelötet, das ich auf die äußere Hülle der Wicklung geklebt und dann mit PVC-Band gesichert habe.

Ohmscher Widerstand: Das Bild zeigt ein ausge­bautes Relais aus meine Bastel­kiste. Zuerst habe ich den Wider­stand der Spule bestimmt. Dieser gibt Auskunft über das Verhältnis von Länge und Quer­schnitt des sehr dünnen Spulen­drahtes, wichtige Information für den L-Culator. Das Ohmmeter zeigte 100 Ω an.

Frequenz-Generator anschließen: Nun habe ich die präparierte Spule mit verschie­denen Konden­satoren zu einem Schwingkreis zusammen­geschaltet. Dann habe ich den Schwingkreis jeweils an einen Labor-Frequenz­generator ange­schlossen, der den Bereich von 10 Hz bis 100 kHz über­streicht, und diesen auf die Resonanz­frequenz abgestimmt. Aus dieser und der bekannten Kapazität C_n lässt sich die Induk­tivität berechnen. Das geht zwar mit der erwähnten Thomson­schen Formel, aber der L-Culator rechnet präziser, und man erfährt noch sehr viel mehr über die Spule.

Hochohmige Ansteuerung des Schwing­kreises: Eine Sache sollte man unbe­dingt beachten: der Ausgang des Signal­generators hat eine sehr niedrige Impedanz. Klemmt man ihn direkt an den Schwing­kreis an, dann dämpft er dessen Resonanz bis zur Unkennt­lichkeit. Man benötigt daher eine Zwischen­stufe mit hoher Ausgangs­impedanz, die den Schwing­kreis nicht belastet. Ich habe dazu in einem fliegenden Aufbau mit einem npn-Silizium­transistor BC109C (andere gebräuch­liche Typen gingen ebenso) eine Transistor­stufe aufgebaut, die das Generator­signal entsprechend trans­formiert (siehe Schaltplan). Der Schwing­kreis wird in den Kollektor-Stromkreis des Transistors gelegt. Dieser hat die gewünschte, sehr hohe Impedanz.

Rekonstruktion der Spule

Daten für den L-Culator:

Eine erste Messung an der Spule, zu der C_n = 4,7 nF parallel geschaltet waren, ergab eine Resonanzfrequenz von 22,48 kHz.

Windungszahl und Drahtdurchmesser: Die Maße der Spule sowie diese Frequnz wurden in die Zeilen 5, 6, 7 eingetragen, doch die Frequenz in Feld 11 wurde zunächst auf Null belassen. Nun wurden die Windungszahl in Feld 9 sowie der Drahtdurch­messer in Feld 12 so eingestellt, dass der Verlust­widerstand in Fled 23 möglichst genau an die gemessenen 100 Ω herankamen und anderer­seits der Kupfer-Füllgrad in Zeile 25 einen plausiblen Wert erreichte. Nach einigen Versuchen erhielt ich mit 1800 Windungen und 0,1 mm starkem Wichlungs­draht (was auch durchaus dem Augen­schein entsprach) am Ziel.

Der finale Check - Berechnung des Konden­sators: Nunmehr setzte ich in Zeile 11 die gemessene Resonanz­frequenz von 22,48 kHz ein. Ich erhielt eine Schwing­kreis­kapazität von 4,592 nF (Zeile 60). Das entspricht unter Berück­sichtigung der Tole­ranzen dem 4,7-nF-Konden­sator. Die angenom­mene Windungs­zahl von 1800 liegt also ziemlich nahe an der Realität. Als Induk­tivität berechnete der L-Culator in Zeile 48 einen Wert von 10,89 mH.

Zur Überprüfung wiederholte ich die Messung mit einem Konden­sator von 100 nF. Diesmal zeigte das Oszi eine Resonanz­frequenz von nur 4,73 kHz an. Ich änderte den Eintrag in Zeile 11 auf diesen Wert. Der L-Culators berechnete für C_n sofort einen Wert von 99,6 nF, ein Voll­treffer! Dass es dann allerdings auf 0,4 % genau heraus­kommt, halte ich selbst für einen glück­lichen Zufall. Außerdem führt der L-Culator hier nicht bloß eine einfache Dreisatz­rechnung durch. Es fließen viele Korrektur­faktoren wie zum Beispiel eine Resonanz­erschie­bung aufgrund der ohmschen Verluste ein, die bei 4,7 und 22,4 kHz unter­schiedlich sind.

Skin-Effekt: So unter­scheidet sich der ohmsche Wider­stand der Spule laut L-Culator bei 4,73 kHz (95,01 Ω) von dem bei 22,48 kHz (98,23 Ω). Er steigt mit zuneh­mender Frequenz als Folge des Skin-Effekts im Kupfer­draht an.

Nicola Teslas drahtlose Energie­über­tragung: wäre sie realisierbar gewesen?

Die drahtlose Energieübertragung Teslas

Nicola Tesla vor einer Spiral­spule (Quelle: Wikipedia, gemeinfrei)

Im Jahr 1900 erwarb der kroatisch-ameri­kanische Forscher Nicola Tesla das US-Patent US645576, "System of Trans­mission of Elec­trical Energy". Darin geht es darum, elek­trische Energie mittels Strah­lung durch die Atmo­sphäre oder durch den leeren Raum in großer Inten­sität und über große Distan­zen zu über­tragen, um beispiels­weise Schiffe und Flug­zeuge mit Antriebs­energie zu versorgen.

Zentraler Bestand­teil dieses Prinzip war eine riesige Sende­spule, die durch einen Hoch­frequenz­gene­rator gespeist wird. Damals, als es weder Röhren noch Halb­leiter gab, erzeugte man in einem Sender die Schwing­ungen mit einem viel­poligen Wchsel­strom­generator, der von einer Dampf­maschine auf Hochtouren gebracht wurde.

Die Spule des Schwing­kreises sollte ein inten­sives magne­tisches Dipol­feld im Raum erzeu­gen, das die Energie an den Empfänger übertrug. Der Empfänger, also ein Schiff auf hoher See oder ein hoch in der Luft vorbei­flie­gendes Flug­zeug, sollte einen klei­neren, auf Reso­nanz abge­stimmten Schwing­kreis mit­führen, der aus diesem hoch­frequen­ten Feld der Sender­spule Energie entnahm und an Bord zur Verfü­gung stellte.

In kleinem Maßstab haben wir das hier mit einem Röhren­sender bereits demon­striert, um eine LED draht­los zum Leuchten zu bringen. Doch da geht es nur um wenige Milli­watt und um 20 cm Distanz. Tesla dagegen dachte in trans­atlanti­schen Dimen­sionen.

Tesla konnte dieses Projekt aller­dings nie in großem Stil reali­sieren, doch es gelang ihm, das Prin­zip mit den techni­schen Mög­lich­keiten des Jahres 1906 im Labor in kleinem Maß­stab zu demon­strieren. Eine solche, spiral­förmige Sende­spule ist zusammen mit dem Erfinder in dem Bild oben zu sehen. Wir fragen uns nun, wie eine solche Sende­spule in großem Maß­stab hätte ausge­legt werden müssen, um tatsäch­lich große Lei­stungen aus­senden und die Anlage wirt­schaft­lich betrei­ben zu können. Dazu verwenden wir den L-Culator.

So könnte das im Großen ausgesehen haben:

Ein Bauentwurf des Senders, berechnet mit dem L-Culator. Ich empfehle Version 0.51 oder höher.

Ich habe mir bei der Planung zuerst diese technischen Randbe­dingungen einer solchen Anlage überlegt:

1. Ein grundsätz­liches Problem ist die Reich­weite des Magnet­feldes der Sende­station, die sicher­lich mindes­tens bei einigen 10 bis 100 Kilo­metern liegen sollte. Mit einer gewöhn­lichen Zylin­der­spule mit einem Durch­messer L, die man mit Wechsel­strom betreibt, ist das prak­tisch unmög­lich, denn die Feld­stärke H nimmt mit zuneh­mendem Abstand r von der Spule sehr rasch ab, nämlich wie (L/r)³. In einem Abstand von nur 10 Spulen­durch­messern beträgt die Feld­stärke nur noch 0,1 Prozent, die Energie­dichte ein Million­stel. Selbst wenn die Spule 10 Meter groß ist, ist ihr Feld in 1 Kilo­meter Abstand kaum noch nachzu­weisen. So geht es also nicht!
2. Tatsäch­lich erzeugt jede Wechsel­strom-Spule neben diesem soge­nannten Nah­feld ein Fern­feld. Seine Feld­stärke nimmt mit zuneh­mendem Abstand r vom Sender wie L/r ab. Im Abstand von 10 Spulen­durch­messern beträgt die Feld­stärke noch 10 Prozent. Es ist wie bei einem Rund­funk­sender, der über einen hohen Sende­mast Strah­lung emit­tiert. Dieser Sende­mast bildet einen elektri­schen Strahlungs­dipol, der sehr effi­zient Strah­lungs­energie abgibt. Dazu gibt es als Gegen­stück auch den magneti­schen Strahlungs­dipol. Doch leider sind die physi­kalisch-techni­schen Rahmen­beding­ungen so grund­legend anders, dass man heute auf seine techni­sche Anwen­dungen prak­tisch verzich­tet hat.
3. Der L-Culator berechnet selbst­verständ­lich auch die Stärke dieses Fern­felds. Man kann sich jedoch leicht davon über­zeugen, dass die Inten­sität dieser Strah­lungs­kompo­nente bei allen heute gebräuch­lichen Spulen außer­ordent­lich klein ist, so klein, dass man sie in allen prak­tischen Fällen voll­kommen vernach­lässigt. Ihre Nut­zung setzt eine besondere Spulen­konstruk­tion voraus, die die elektri­schen Verluste der Spule gerade bei sehr hohen Frequen­zen konse­quent mini­miert. Doch da, wo der gewöhn­liche Inge­nieur aufgibt, beginnt das Genie Teslas. Er hat diesen Punkt erkannt und eine konstruk­tive Lösung erson­nen!
4. Zeile 66 des L-Culators zeigt die im Fern­feld abge­strahlte Lei­stung an. Sie müsste einige 10 Kilo­watt betragen, um beim Empfänger eine sinn­volle Maschine versor­gen zu können.
5. Die Verlust­leistung der Spule (Zeile 56) sollte diesen Wert zumindest nicht wesentlich über­schreiten, sonst ist der Wirkungs­grad zu schlecht, um wirtschaft­lich zu sein.
6. Da ein mechanischer Generator eingesetzt wird, kann die Betriebs­frequenz (Zeile 11) aus mechani­schen Gründen bei kaum mehr als 100 kHz liegen. Selbst das wäre schon grenz­wertig.

Selbstver­ständlich besteht noch sehr viel Spielraum bei der Gestaltung. Es handelt sich hier, wie gesagt, um einen ersten Entwurf, der sich an dem US-Patent von 1900 orientiert.

Einige weitere Einzel­heiten möchte ich erwähnen:

1. Mit der Spulen-Blind­leistung, die in Zeile 53 mit unvorstell­baren 21,7 Giga-Watt angegeben ist, hat es folgende Bewandnis: dieser Wert entsteht dadurch, dass der Schwing­kreis 120.000 mal pro Sekunde die magnetische Feld­energie der Spule als elektrische Energie in den Konden­sator eingespeist und wieder zurückholt. Das Verhältnis dieser Leistung zur Frequenz gibt die magnetische Feld­energie an, gemessen in Joule, die während der Periode in und um die Spule und Konden­sator zirkulieren. Das sind bloß 180 Kilojoule, das Energie­äquivalent von 17 Gramm Butter.
2. Ich würde empfehlen, die Spule nicht, wie Tesla es beschrieb, aufrecht aufzu­stellen, sondern sie auf die Seite zu legen. Dadurch würde man erreichen, dass die Vorzugs­ebene der Strahlung zur Erober­fläche parallel ist. Die Welle würde sich dann ringsum gleich­mäßig in alle Richtungen ausbreiten. In Teslas Entwurf strahlt sie dagegen bevorzugt quer zur Achsen­richtung nach beiden Seiten sowie nach oben ins Weltall und nach unten in die Erde.

Unser Entwurf für den Sender

Tatsächlich ist speziell die riesige Sende­spule der kritische Bestandteil des ganzen Konzepts. Man kann sich nur vorstellen, dass sie aus Kupferdraht hätte gewickelt werden müssen. Doch wie sollte sie beschaffen sein, wie hoch sind technischer Aufwand, Feldstärken und Wirkungsgrad? All dies hängt sensibel von der Konstruktion ab.

Um mit dem L-Culator einen Entwurf für eine solche Anlage zu machen, der technisch und wirtschaft­lich zumindest diskutabel erscheint, habe ich mit den Maßen, der Windungs­zahl und der Option gespielt, die Windungen in viele Einzel­drähte aufzuteilen. Das ist nach einigen Optimie­rungs­schritten heraus­gekommen:

1. Größe und Gewicht der Anlage: Die Sendespule wäre eine aufrecht stehende Zylinder­spule mit 13 Metern Höhe und 4 Metern Länge, die aus 16 Windungen eines Kupfer­leiters gewickelt ist. Der Leiter ist aus einem Bündel von 10.000 isolierten Kupfer­drähten von je 10 mm Stärke geflochten. Dadurch wird der Skin-Effekt in der Spule weitgehend ausgeschaltet und die resultie­renden Energie­verluste gegenüber einem massiven Draht auf einen Bruchteil reduziert. Um die Spule anzufer­tigen, werden fast 430 Meter dieses Leiters benötigt, der aus über 2.500 Tonnen Kupfer besteht.
2. Baukosten: Die Kosten für die Anlage berechnen sich vorwiegend aus dem Preis für das Kupfer. Bei dem gegen­wärtigen Kupfer­preis von 10.000 Euro pro Tonne (Dez. 2025) rechnen wir also mit Kosten von 25 Millionen Euro.
3. Sendefrequenz und HF-Leistung: Der Sender würde mit 120 kHz betrieben, seine abge­strahlte Leistung (Fernfeld) liegt bei 25 Kilowatt. Bei einer Induk­tivität der Spule von 1,42 mH und einem Verlust­wider­stand von 1,22 Milliohm liegt die notwendige Parallel­kapazität bei 1,238 nF.
4. Elektrische Kennwerte: Die Strom­stärke beträgt 4.500 Ampère bei Resonanz, wobei zwischen den Klemmen der Spule und am Kondensator fast 1,7 Millionen Volt liegen. Die Verlust­leistung beträgt 25 Kilowatt.
5. Elektrische Sicherheit: Tatsächlich ist die extrem hohe Klemmen­spannung von 1,7 MV kein schwer­wiegendes Problem. Entschei­dend sind allein das resultie­rende elektrische Feld. Hier ist es nun so, dass die elektrischen Feldlinien zwischen dem Außenrand und der Mitte der Spule verlaufen und nicht weit in den Raum hinaus­reichen, wie es bei einem aufrecht stehenden Sendemast der Fall wäre. Weder wandern sie an der Erdober­fläche entlang, noch erzeugt die Spule ein elektrisches Dipolfeld. Das hatte Tesla wohl selbst schon erkannt, und es war klar, dass er das vermeiden musste. Ein intensives E-Feld würde im Umkreis starke dielek­trische Wärme­verluste verursachen, zusätzlich Energie vergeuden und könnte durch seine Intensität für Menschen in der Umgebung sogar gefährlich werden.
6. Generator und Energie­verbrauch: Der Generator muss die hohe auftretenden Spannungen und Ströme keineswegs in dieser Dimension bereit­stellen. Er kann die erzeugte Energie zum Beispiel induktiv bei niedriger Spannung einspeisen. Auch ist der Strom im Generator­kreis weitaus niedriger als im Resonanz­kreis. Seine Leistung muss allein für die ohmschen Verluste und die durch den magne­tischen Dipol abgestrahlte Energie ausreichen. Zusammen sind das nur 50 Kilowatt. Eine 100-PS-Dampf­maschine sollte zum Antrieb der Generator­maschine ausreichen. Für den nötigen Dampf müsste man, wenn man 40.000 Kilojoule Verbren­nungs­wärme pro Kilo Steinkohle und 10 % Wirkungs­grad annimmt, einen Verbrauch von Stein­kohle von 50 kg pro Stunde kalku­lieren.