Hans Martins Bastelseiten

Wege ins Chaos, und wieder heraus !
- mit Röhren
letzte Änderung: 27.6.2018

Zurück zur vorigen Seite

Inhalt:
7.2.16:
Erste Versuche: die Oszillatorschaltung entsteht (gleich hier geht's los)
10.9.16: Wir bestimmen die Feigenbaum-Konstante

13.11.16: Eine numerische Simulation unseres Oszillators

Ordnung und Chaos...

...hängen in der Natur enger zusammen als man glaubt. Auch bei Röhren. Das zeigt sich in diesem einfachen Experiment. Aus einer einfachen Sinusschwingung können durch Periodenvervielfachung neue, komplexere Schwingungsformen entstehen. Und schließlich entsteht daraus sogar chaotisches, unvorhersagbares Verhalten.

Röhrenoszillatoren sind nichtlinear

Die Frage ist nicht ob, sondern wann dies sichtbar wird. Es hat jedenfalls weitreichende Folgen. Das Bild rechts zeigt einen einfachen Oszillator für Sinusschwingungen. Der Oszillator arbeitet einer Verstärkerpentode vom Typ EF89. Anode und Steuergitter sind mit den beiden Wicklungen eines Transformators verbunden. Das Übersetzungsverhältnis zwischen Primär- und Sekundärwicklung ist etwa gleich 1 zu 2,4. Der Trafo sorgt für die Rückkopplung und bildet durch seine Sekundärspule, die Induktivität L1 für den Schwingkreis. Die Kapazität des Kreises besteht aus den beiden in Serie geschalteten Kondensatoren C1 und C2. Diese bilden einen Spannungsteiler, der die recht hohe Amplitude der Wechselspannung, die an an L1 auftritt (bis zu 100 Volt), auf 10 Volt Steuerspannung für das Röhrengitter heruntersetzt. Ein Teil des Stroms fließt während der positiven Halbwelle auch über das Steuergitter der Röhre. Hier liegt, wie wir sehen werden, die Ursache des komplizierten Verhaltens des Oszillators.


Der Schaltplan des Röhrenoszillators. Anstelle der Pentode EF89 oder EBF 89, die in Röhrenradios häufig im Zwischenfrequenzvertärker zum Einsatz kamen, können auch andere Typen verwendet werden. Dann muss jedoch eventuell der Arbeitspunkt angepaßt werden, um den Übergang zum chaotischen Verhalten des Oszillators einstellen zu können.
Ich habe im Plan einen ohmschen Widerstand Rv eingezeichnet, der mit L1 in Serie liegt. Er entspricht dem Verlustwiderstand der Transformatorwicklung von circa 660 Ohm. Der weitere 10-Ohm-Widerstand am anderen Ende der Wicklung ist dagegen real als Bauelement vorhanden. Hier greife ich zur Messung des Stroms IL im Schwingkreis eine kleine Spannung fürs Oszi ab.

Das Video zum Experiment

Der Chaos-Oszillator in Aktion.


Periodenverdopplung


Hier ein Oszillogramm der Gitterspannung im regulären periodischen Betrieb. Die Frequenz beträgt etwa 800 Hz.


Periodenverdopplung: aufeinanderfolgende Wellenzüge verlaufen unterschiedlich. Das zeigt sich auch im Spektrum, das mein Digitaloszi dank seiner FFT-Funktion ebenfalls anzeigen kann. Im Spektrum des Oszillators erscheint bei halber Grundfrequenz eine weitere Spektrallinie.


Mein Versuchsaufbau. Der große schwarze Schiebewiderstand (ein Rheostat aus einem aufgelösten Physiklabor) dient zur Feineinstellung der Verstärkung.

Periodische und chaotische Schwingungen

Der Oszillator schwingt oder er schwingt nicht. Das behauptet zumindest die landläufige Bastler-Erfahrung. Doch das ist nicht alles. Ein solcher Oszillator kann noch viel mehr, nämlich völlig irregulär und chaotisch werden. Dies passiert, sobald man den Verstärkungsfaktor der Röhre über eine kritische Grenze hinaus erhöht. Es deutet sich in kleinen Schritten an, nämlich durch eine Folge von Periodenverdopplungen (siehe Abb. links). Wenn man den Widerstand im Kathodenstromkreis, der aus den beiden Potentiometern besteht, langsam kleiner macht, dann scheint es am Oszilloskop, dass die einzelnen Schwingungszüge plötzlich zu tanzen anfangen. Sie liegen abwechselnd etwas höher oder tiefer. Die Periode des Oszillators hat sich verdoppelt. Dreht man das Poti noch weiter, dann folgt eine Vervierfachung und so weiter. Ab einem bestimmten Punkt werden die Schwingungen vollkommen chaotisch: jeder einzelne Wellenzug verläuft anders. Es wird unmöglich vorherzusagen, nach wievielen Perioden sich das Signal wiederholt.

Trägt man im XY-Modus den Schwingkreisstrom IL gegen die Gitterspannung UG auf, dann zeichnet das Oszilloskop den Attraktor. Dieser beschreibt den Betriebszustand eindeutig.


Der periodische Attraktor: Zeichnet man im x/y-Modus den Schwingkreisstrom IL gegen die Gitterspannung UG auf, dann zeigt das Oszi einen leicht deformierten Kreis, der periodisch durchlaufen wird. Nach jedem einzelnen Zyklus nehmen Strom und Spannung am Schwingkreis dieselben Werte an, so wie man es von einem normalen Oszillator erwartet.




Periodenverdopplung: hier schließt der Attraktor erst nach zwei Zyklen. Man würde denken, dass die Röhre, wenn gleiche Steuerspannungen anliegen und gleiche Ströme fließen (wie z.B. am Überkreuzungspunkt der beiden Schleifen des Attraktors), den Schwingkreis auch immer auf dieselbe Art ansteuern und den vorigen Zyklus exakt wiederholen würde. Aber das ist ein Irrtum! Unser Versuch zeigt, dass es in bestimmten Fällen im Verhalten von aktiven elektronischen Elementen systematische Variationen gibt, sofern jedenfalls nichtlineare Eigenschaften im Spiel sind.

4-fach-Zyklus

Nach zwei Periodenverdopplungen zeigt der Attraktor nun vier Schleifen. Gleiches Experiment, andere Schwingkreisdaten und Röhren. Das spielt für den Chaos-Übergang keine prinzipielle Rolle.

4-fach-Zyklus, FFT-Plot
Das Fourierspektrum nach zwei Verdopplungen. Neben der Grundfrequenz (Mitte, bei f0 = 3,1 kHz) zeigt das Spektrum Linien bei halbzahligen Frequenzen (1/2 f0 = 1,55 kHz und 3/2 f0 = 4,65 kHz) sowie schwächere Linien mit viertelzahligen Frequenzen bei 1/4, 3/4, 5/4 und 7/4 f0: 775, 2.325, 3.875 und 5.425 Hz.


Chaotische Schwingungen: der Strom- und Spannungsverlauf IL als Funktion von UG wiederholt sich erst nach unendlich vielen Zyklen, also nie! Man sieht nur lauter ineinandergeschlungene, stark verzerrte Kreise auf dem Schirm, die nicht mehr unterscheidbar sind.

Die Ursache des nichtlinearen Verhaltens

Ursache ist die nichtlineare Gitterstromkennlinie der Röhre. Der Gitterstrom steigt als Funktion der Gitter-Kathodenspannung Ugk exponentiell an:


Hierbei sind:
I0
der Gitterruhestrom, wenn Steuergitter und Kathode miteinander kurzgeschlossen sind,

e ist die Elementarladung der Elektronen (1.602 10-19 As),
kB die Boltzmann-Konstante (1.381 10-23 J/K),
T die absolute Kathodentemperatur in Kelvin (hier etwa 1000 K).

Die Gleichung besagt, dass der Gitterstrom während der positiven Halbwelle einen Schwingung wächst. Dadurch byut sich eine zusätzliche negative Gleichspannung am Steuergitter auf. Das hat dann zur Folge, dass die Steilheit der Röhre kleiner wird und die Schwingungsamplitude des Oszillators in einer bestimmten Höhe sättigt. Dabei aber bleibt es nicht. Ab einem bestimmten Punkt ändert das gesamte rückgekoppelte System sein Verhalten: neben Vielfachen der Grundfrequenz erscheinen auch halbe, viertel, und rationale Bruchteile der Grundfrequenz, schließlich ein kontinuierliches Spektrum. Dies passiert in einem recht engen Parameterbereich.

Die nichtlineare Schwingungsgleichung

Mit ein wenig Praxis in den Kirchoffschen Regeln läßt sich die Differentialgleichung herleiten, die das Verhalten des Oszillators beschreibt. Das folgende gekoppelte Gleichungssystem beschreibt den Strom IL durch die Schwingkreisspule sowie die Gitterspannung UG der Röhre als Funktion der Zeit t, genaue jene Größen, die wir am Oszi aufzeichnen:

Schwingungs-Gleichungen
Ich habe hierbei die Werte der Schaltelemente zu dimensionslosen Zahlen und Koeffizienten zusammengefaßt, die weiter unten definiert werden. Außerdem habe ich die reale Zeit, gemessen in Sekunden, durch die dimensionslose Zeitskala τ = ω1t ersetzt, die durch die Schwingungsperiode gegeben ist. Eine Schwingungsperiode des Oszillators hat dabei die Länge 2 π.

Der für uns wichtigste Kontrollparameter ist der Dämpfungsgrad ε in der oberen Gleichung. Positives ε bedeutet ein Ausklingen der Schwingungen, negatives dagegen stetige Oszillation. Je negativer ε aber ist, desto höher steigt die Amplitude, und um so größer wird der Einfluss der Nichtlinearität des Gitterstroms. Den Dämpfungsgrad ε stellt man über den Widerstand Rp der Potis P1 und P2 in der Kathodenzuleitung der Röhre ein. Den genauen Zusammenhang mit den Werten der verschiedenen Bauelemente zeigt die Gleichung unten. Hier geht zudem die Steilheit S der Röhre ein, laut Datenblatt etwa 4 mA/V.


Die Ableitung dε / dRp des Dämpfungsgrades nach dem Poti-Widerstand Rp ist in der mittleren Zeile angegeben. Die Dämpfung erhöht sich danach um 2,88, wenn man Rp um 1 Kiloohm erhöht. Praktisch genügt uns eine Widerstandsänderung ΔRp von etwa 50 Ohm, beziehungsweise Δε ~ 0,15, um alle Periodenverdopplungen beobachten zu können.
Doch hängt ε auch von der Spannung UG am Steuergitter ab. Diese setzt sich aus einem Wechselspannungs- und einem Gleichspannungsanteil zusammen. Letzterer ergibt sich durch die Gleichrichterwirkung der Gitter-Kathodenstrecke: je höher die Amplitude der Schwingung, um so mehr verschiebt sich die Gitterspannung zu negativen Werten. Dadurch aber nimmt die Verstärkung der Röhre für die Wechselspannung ab, und die Sache verhält sich summa summarum so, als sei der Dämpfungsgrad ε bei großer Amplitude höher als bei kleiner. In der letzten Zeile in der Gleichungsbox habe ich die Rate dε / dUG für diesen Anstieg angegeben. Danach ist die Zunahme der Dämpfung ε mit UG (bis auf unwesentliche Vorfaktoren) zu dem Faktor

γS = d log S / d UG


proportional. Bei vielen Röhrentypen, darunter auch die EF 89, nimmt die Steilheit S exponentiell mit der negativen Gitterspannung ab. Der Faktor γS ist wegen des Logarithmus dann eine Konstante, die bei der EF 89 ungefähr gleich 1,3 V-1 ist. Dies ist der Hintergrund für den nichtlinearen Term
γSUG dIL/dτ in der Differentialgleichung in der obersten Gleichungsbox. Die weiteren Parameter sind wie folgende:
Tg1 = R2ω1C2 ist die Zeitspanne, in der sich C2
über den Gitterableitwiderstand R2 von 47 kΩ kann. Sie ist im Vergleich zur Schwingungsperiode ziemlich groß und für die Schwingungen eine nur untergeordnete Bedeutung.

Der Faktor k = 2,4 ist das Übersetzungsverhältnis der Trafowicklungen. Die sonstigen Bauelemente des Oszillators sind wie folgt bemessen:


Schließlich seien noch das Übersetzungsverhältnis des Trafos sowie die Referenzspannung der Gitterdiode der Röhre angegeben:



Ein paar praktische Tips zu der Schaltung:

1. Der Oszillator springt bei inkorrekter Dimensionierung in den Sperrschwinger-Betrieb, und zwar bevor eine Periodenvervielfachung erfolgen kann. Er erzeugt dann Kippschwingungen von niedriger Frequenz, die mit der Resonanz des Schwingkreises nichts zu tun haben. Die Ursache ist, dass sich eine zu hohe negative Vorspannung am Steuergitter einstellt: bedingt durch den Gitterstrom laden sich C1 und C2 stark auf, und die Röhre blockiert schließlich, die Schwingungen erliegen. Abhilfe: den Gitterwiderstand (47 kΩ) etwas verkleinern. Er sorgt dafür, dass die Ladung aus den Kondensatoren abfließt, ehe die Schwingungen abreißen.

2. Habe auch die Röhrentypen EF 183 und EF 184 getestet, zumal diese mit der EF 89 nahezu idenische Anschlußbelegungen haben. Diese Röhren haben aber eine höhere Steilheit als die EF 89 und benötigen einen anderen Arbeitspunkt. Ich habe den Kathodenwiderstand auf 1,5 bis 1,8 Kiloohm und den Schirmgitterwiderstand auf 500 Kiloohm vergrößert. Der Anodenstrom ist dann etwa 0,9 mA bei 120 V Betriebsspannung. Bei diesen Spanngitterröhren entstanden z.T. jedoch intensive, sehr hochfrequente Barkhausen-Oszillationen, die die eigentlichen Tonfrequenzen überlagerten. Hier hat der Bastler noch Forschungsbedarf. Die EF 89 hat eine deutlich geringere Tendenz zu solchen Schwingungen, auch wenn sie ab und zu da sind. Siehe Video.
3. Eine stabilisierte Spannungsversorgung ist für dieses Experiment sehr hilfreich. Ich verwende deshalb dieses Netzgerät.
4. Trioden statt Pentoden eignen sich zu diesem Experiment ebenfalls. Ich habe Pentoden wegen ihres hohen Ausgangswiderstand bevorzugt, weil dies die Abschätzung der Schwingkreisdämpfung und damit die Berechnung des Faktors ε gegenüber einem Triodenoszillator stark vereinfacht.



Natürlich lassen sich chaotische Phänomene auch mit Halbleiter-Oszillatoren demonstrieren. Ein schönes, leicht nachzubauendes Beispiel zeigt die Schaltung links im Bild, die eine litauische Forschergruppe vor einigen Jahren in einer Zeitschrift vorgestellt und genau dokumentiert hat.

10.9.16: Weitere Experimente mit dem chaotischen Oszillator: Messung der Feigenbaum-Konstanten
Zurück zum Anfang

Nach den ersten qualitativen Versuchen zu Periodenverdopplung und Chaos wollte ich dann mehr über das Thema wissen, das weitaus tiefere Bedeutung hat, als man zunächst vermuten würde. Man hat sehr überzeugende Hinweise darauf entdeckt, dass der Übergang von regulärem Verhalten ins Chaos auch in sehr unterschiedlichen dynamischen Systemen unter vergleichbaren Vorzeichen abläuft wie in unserem Oszillator. Das Verhalten eines gekoppelten mechanischen Pendels wie etwa diesem hier. Aber auch Strömungsinstabilitäten in Wasser- und Gasturbinen, die Entwicklung von Populationen von Raub- und Beutetieren in der freien Wildbahn, neuronale Erregungsmuster im menschlichen Gehirn oder Nervengewebe, die Migräne, Herzrhytmusstörungen oder epileptische Zustände auslösen können, scheinen ähnlichen Prinzipien zu folgen.

Ein wichtiges Maß hierbei ist der Abstand der einzelnen Parameterwerte, an denen eine weitere Periodenverdopplung eintritt. Man bezeichnete diese als Bifurkationen. Dieser Abstand bezieht sich auf die kritischen Werte des Kontrollparameters ε, den wir an unserem Oszillator ja leicht über die beiden Potis P1 und P2 einstellen können. Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Bifurkationen wird mit deren Anzahl, die der Oszillator auf seinem Weg ins Chaos durchschritten hat, immer kleiner, und zwar offenbar nach einem Exponentialgesetz. Den Faktor der Verkürzung dieses Abstandes bezeichnet man als Feigenbaum-Konstante, eine Zahl, die in verschiedensten Systemen immer gleich zu sein scheint.


Den Oszillator habe ich diesmal mit größter Sorgfalt aufgebaut, wobei ich alle Bauelemente mechanisch mit Klebeband fixiert und für alle Betriebsspannungen einschließlich der Röhrenheizung stabilisierte Spannungen verwendet habe. Der Grund ist folgender: zur Bestimmung der Feigenbaum-Konstante muss der Oszillator mindestens 3 klar unterscheidbare Bifurkationen durchlaufen. Das erfordert eine reproduzierbare Einstellbarkeit über zwei bis drei Größenordnungen bei den Potis wie auch der Röhrenverstärkung. Störfaktoren und Spannungsschwankungen müssen deshalb so weit wie möglich ausgeschlossen werden. Der Versuchsaufbau wurde mindestens 1 Stunde vor der Messung in Betrieb genommen, um eine mögliche thermische Drift während der Messung auszuschließen.


Neben dem schon bewährten Schiebewiderstand P2, der auf das Ohm genau einstellbar ist, habe ich für die Grobeinstung P1 ein 10-gängiges Präzisions-Spindelpotentiometer von 20 kΩ mit einem 100-teiligen Skalenrad verwendet. Die Widerstandänderungen beträgt also 20 Ohm pro Teilung. Reproduzierbares Einstellen mit einer relativen Genauigkeit von etwa 10 Ohm sind dadurch möglich. Mit dieser Anordnung konnte ich Bifurkationen bis zur 3. Ordnung identifizieren. Der Abstand zwischen zwei Bifurkationen liegt hier bei unter 1 Ohm.

Gemessene Abstände zwischen den Bifurkationen

Ordnung der Bifurkation

ΔR (Ohm)

Abstand vom Chaos-Übergang (Ohm)

Parameterabstand Δε vom Übergang zum Chaos

1

41,6 +/- 1,44

50,6 +/- 2,4

0,146

2

4,7 +/- 0,36

9,0 +/- 1,0

0,026

3

0,78 +/- 0,22

4,3 +/- 0,7

0,012

4

---

3,52 +/- 0,5

0,010

chaotisch

3,52 +/- 0,5

---

0

Die Betriebsspannung des Oszillators habe ich auf 150 V eingestellt, die Heizspannung war 6,43 Volt. Die gesuchten Bifurkationen habe ich mittels Digitaloszi (Tektronix TDS 220) im FFT-Spektralmodus identifiziert. An den betreffenden Poti-Einstellungen sieht man, dass im Spektrum des Oszillators neue Linien bei halb-, viertel-, achtelzahligen Vielfachen der Grundfrequenz aus dem Grundrauschen zu wachsen beginnen. Die entsprechenden Potieinstellungen habe ich in die obige Tabelle eingetragen. Es handelt sich um Mittelwerte von jeweils fünf unabhängigen Messungen.



Links im Bild habe ich das Ergebnis der Messreihe noch einmal grafisch zusammengestellt, wobei ich auch jeweils die Spektren vom Oszilloskop abfotografiert habe (eingefügte Bilder oben). Die zentrale Linie stellt die Grundfrequenz des Oszillators von 660 Hz dar (bei 100 Hz pro Teilung des Oszi-Bildschirms) Mit zunehmder Zahl der Bifurkationen entstehen zusätzliche weitere Linien (von rechts nach links), bis das Spektrum im chaotischen Bereich schießlich vollkommen "dicht" ist. Die Bifurkationen von vierter Ordnung waren nicht mehr eindeutig zu identifizieren, so dass die Messreihe hier abgebrochen wurde.

Ergebnis

Der Versuch veranschaulicht klar den Übergang von regulärer zu chaotischer Dynamik als eine Sequenz von Periodenverdopplungen, die bei stetig sich änderndem Kontrollparameter immer dichter aufeinander folgen. Wertet man nun die Verhältnisse zwischen den Abständen zweier Bifukationen aus, dann zeigen sich jedoch Abweichungen vom angenommenen Exponentialgesetz: Aus den ersten beiden Bifurkationen ergibt sich ΔR1/ΔR2 = 8,85. Dieser Wert ist zwar in der korrekten Größenordnung, doch von der Feigenbaum-Konstanten δ = 4,66920 noch um einiges entfernt. Allerdings ist dieser Wert ein Grenzwert, dem sich das Widerstandsverhältnis erst nach vielen Bifurkationen nähert. Aus der zweiten und dritten Bifurkation ergibt sich ΔR2/ΔR3 dagegen 6,03, was immerhin schon etwas besser ist.

Literatur und weitere Informationen zum Thema:

R. W. Leven, B. P. Koch, B. Pompe, Chaos in dissipativen Systemen, Akademie-Verlag Berlin 1989, ISBN 3-05-500488-4

Die Originalarbeit, in der die Feigenbaum-Konstante begründet wird:
M. J. Feigenbaum, The universal metric properties of nonlinear transformations, J. Stat. Physics, 21, 669 (1979)

Die Physik-am-Samstag-Website von S. Lück mit vielen Experimenten: Die Erforschung des Chaos.

22.9.16: Wir simulieren den chaotischen Oszillator numerisch

Unsere Differentialgleichungen für den Oszillator sehen ja ganz nett aus. Sie sind aber viel zu kompliziert, um sie wirklich von Hand zu lösen. Was können wir also damit anfangen ? Genau, eine Simulation. Wir tippen die Gleichung in unseren PC und überlassen ihm die Arbeit. Dazu empfiehlt es sich, die Gleichungen in ein sogenanntes System von Differentialgleichungen erster Ordnung umzuformen. Das Resultat ist rechts gezeigt. Wir definieren zunächst dimensionslose Zeitfunktionen x, y und z. Hierbei ist x bis auf Vorfaktoren der Schwingkreisstrom IL, y seine Zeitableitung und z die Spannung UG am Steuergitter.

Zum Rechnen habe ich die Euler Math Toolbox verwendet, die man sich hier kostenlos herunterladen und installieren kann. Ich habe dafür ein entsprechendes Skript geschrieben (Box rechts unten), das die Gleichung mit dem Runge-Kutta-Verfahren über einen Zeitraum von 20 Schwingungsperioden integriert: τ geht von 0 bis 125.6 (das sind 40 π). Ferner ist γ = 1.3 V-1 x 300 mV = 0.4.

Der Kernbestandteil ist die dreikomponentige Vektorfunktion
[dx/dt,dy/dt,dz/dt] = osc[t,x,y,z]
,
welche den Satz der drei Differentialgleichungen repräsentiert. Die Euler-Funktion "runge" sorgt für die rekursive Berechnung des Lösungsvektors im Abstand von 0.002 Zeiteinheiten, beginnend mit den Anfangsbedingungen x = 0.1, y = 0, z = 0 bei τ = 0. Nicht sehr kompliziert! Die Spannung am Steuergitter habe ich unten für verschiedene Werte von ε geplottet.

Euler-Skripte sind (sofern man den entsprechenden Modus aktiviert) mit der Mathematik-Software MATLAB weitgehend kompatibel.

Flussgleichungen
mit
Definitionen x,y,z
und
Definitionen p, q, gamma

.. Chaotischer Oszillator
.. H. M. Sauer, 15.9.2016
..
.. Elektrische Konstanten der Schaltung:
q:=0.1;
p:=2;
Tg:=5;
.. Dämpfungsparameter, nach Bedarf aendern:
eps:=-1.28;
.. Korrekturfaktor gamma der Röhrensteilheit:
gam:=0.4;
.. Skalierte Zeitachse:
t:=0:0.002:125.6;
.. Ab hier geht es los: zuerst Grafikfenster leeren ..
clg;
.. Das Gleichungssystem definieren:
.. hierbei ist x=g[1], y=g[2], z=g[3];
function osc(t,g):=[
-g[2],
(1+q)*g[1] - eps*(1+gam*g[3])*g[2] + p*exp(g[3]) + g[3]/Tg,
-q*g[1] - p*exp(g[3]) - g[3]/Tg
];
.. Runge-Kutta-Solver aufrufen, um g[] zu berechnen,
.. Anfangswerte bei t=0: x=0.1, y=0, z=0 (ist beliebig,
.. aber nicht alle zu 0 setzen);
g=runge("osc",t,[0.1,0,0]);
.. x(t) bzw. g[1] im Grafikfenster gegen t plotten;
plot2d(t,g[1]);
.. Fertig !

reguläre Schwinguung
1. Für ε = -1.0 gerät der Oszillator nach der Anschwingphase, die etwa 3 bis 4 Perioden dauert, in reguläre Schwingungen
Periodenverdopplung
2. Eniedrigt man ε unter den Schwellwert von -1.28, dann zeigt sich die erwartete Periodenverdopplung. Hier das Schwingungsbild bei -1.50, wo die Verdopplung schon weit entwickelt ist.
Periodenvervierfachung
3. Unterhalb der weiteren Schwelle von ε = -1.598 habe ich nach der Anschwingphase die Verviefachung der Schwingungsperiode beobachtet. Der gezeigte Plot wurde bei -1.66 berechnet.
chaotische Schwingungen
4. Eine Ver-Acht-Fachung ergab sich dann bei ε-Werten unter -1.658. Bei etwa -1.70 wurden die Schwingungen dann chaotisch. Das obige Diagramm wurde mit ε = -2.1 berechnet.
Schlussfolgerung:
Ich habe natürlich auch versucht, die Bifurkationspunkte aufzusuchen und die Feigenbaum-Konstante aus der Simulation zu bestimmen. Die Werte, die ich für die verschiedenen Konstanten angenommen habe, sind im oben gezeigten Euler-Skript eingetragen. An Hand der ε-Werte der ersten drei Bifurkationen habe ich damit einen Schätzwert δ1 = 5,3 für die Feigenbaum-Konstante erhalten. Die Ergebnisse zeigen, dass unsere Analyse des Oszillators zumindest qualitativ korrekt ist und die wesentlichen Merkmale des Übergangs vom regulären in den chaotischen Betriebszustand erfaßt.

(C) Hans Martin Sauer 2016, Alle Rechte vorbehalten