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Das L-Culator-Tutorial Eine rasche Einführung in den Spulenrechner Version: 12.12.2025 |
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Inhalt:
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Die Probe aufs Exempel
Mit der Hall-Sonde eines Präzisions-Gaussmeters (Lakeshore 410) wird hier die magnetische Induktion B im Zentrum einer Zylinderspule gemessen. Zunächst wird der Sensor genau parallel zur Spulenachse ausgerichtet und im Mittelpunkt positioniert. Das Gaussmeter wird auf Null eingestellt. Sobald ein Erregerstrom von 1,00 A eingeschaltet wird, zeigt das Instrument B = 15,42 mT an. Die Spulendaten werden in den L-Culator eingegeben: Außendurchmesser der Wicklung: 4,9 cm, Innendurchmesser: 2,9 cm, axiale Länge der Wicklung: 2,2 cm, Windungszahl: 527, Drahtsorte: 0,6-mm-Kupferlackdraht. Der berechnete Wert ist 15,63 mT. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
Magnetfeld und Induktion Tesla ist nicht nur eine Automarke. Es ist auch die Maßeinheit der magnetischen Induktion B. Landläufig bezeichnet man das auch als magnetische Feldstärke. Im leeren Raum ist beides allerdings synonym. Die magnetische Induktion ist dort zur magnetischen Feldstärke strikt proportional: B = µ0H Hierbei ist µ0 = 1,256 10-6 Vs/Am die Permeabilitätskonstante des Vakuums. Wenn allerdings ferromagnetische Stoffe im Spiel sind, Eisen oder Ferrit, dann wird die Sache komplizierter. Diese Stoffe haben nicht nur eine spezifische relative Permeabilitätszahl µr > 1, die die magnetische Induktion gegenüber der Feldstärke heraufsetzt, sie verändern auch den Verlauf der Feldlinien im Raum. Im freien Raum entspricht eine magnetische Feldstärke von H = 1 A/m also einer magnetischen Induktion von B = 1,256 10-6 Vs/m2 oder 1,256 µT (Mikro-Tesla). |
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Die zylindrische Spule So ist es auch in einer Spule, die aus N Windungen Kupferdraht besteht, und durch die man einen Strom I schickt. Die Feldstärke H in dieser Spule beträgt ungefähr H = N I / L Die magnetische Induktion beträgt dann B = µ0 N I / L Hierin ist L die Länge der magnetischen Feldlinien, die den Innenraum der Spule durchdringen und sich außerhalb wieder schließen. Man könnte also sagen, dass in einer zylindrische Spule, die N = 100 Windungen und eine Länge Lc = 1 cm hat, bei einem Strom von I = 1 A eine magnetische Feldstärke von 10.000 A/m und eine Induktion von 12,56 mT besteht, vorausgesetzt, wir dürfen die Feldlinienlänge L ungefähr mit der Spulenlänge Lc gleichsetzen. Das aber ist eine sehr schlechte Näherung der wahren Verhältnisse. Wir stellen uns die Wicklung, die aus vielen, dicht gewickelten Drahtwindungen besteht, als ein massives Rohr oder als einen Ring mit rechteckigen Querschnitt vor, mit Länge L, Außendurchmesser D1, Innendurchmesser D0. Auf dem Umfang fließt gleichmäßig verteilt der Erregerstrom aus den N Windungen kreisförmig um die Spulenachse. Die Feldlinien verlaufen durch das Rohr beziehungsweise durch die Öffnung des Rings hindurch.
Die höchste Feldstärke entsteht in der Mitte der Öffnung des Rings, und zwar genau in der Mitte. Sie nimmt zu den Enden hin stetig ab. Auch außen und neben der Spule wird die Feldstärke nicht zu Null, denn die Feldlinien müssen dort ja wieder zur anderen Seite zurücklaufen. Die korrekte Lösung dieses Problems ist als das Ampèresche Gesetz seit fast 200 Jahren bekannt. Doch muss man, um es anzuwenden, ein kompliziertes Integral lösen. Das verlangt ein Stück höhere Mathematik. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
Die Eingabefelder des L-Culators: Zeilen 5 bis 15
Alle Eingaben erfolgen ausschließlich in die gelb unterlegten Felder des Rechenblatts. Außen- und Innendurchmesser sowie die Länge der Kupferwicklung (gemessen in Richtung der Spulenachse) werden in die Zeilen 5, 6 und 7 eingetragen. Die Windungszahl kommt in Zeile 9. Der Erregerstrom in der Spule kommt in Zeile 10. Für die Feldberechnung genügen diese Daten schon. Als Frequenz des Stroms wird "0" angegeben: Gleichstrom. Für zusätzliche Informationen wird der spezifische Widerstand des Leitermaterials, hier "1,70 10-8" Ωm für Kupfer (bei 25 °C) in Zeile 8, der Drahtdurchmesser in Zeile 12, sowie, wenn HF-Litze verwendet wurde, die Zahl der Einzeldrähte in Zeile 13 engetragen. Das ist hier nicht der Fall, weshalb dort der Wert "1" steht. Zeile 14 enthält die erwartete Betriebstemperatur der Spule. Der Widerstand von Kupfer nimmt mit der Temperatur zu. Der Wert "1" cm in Zeile 15 gibt den Abstand eines Punktes von der Spulenmitte entlang der Achse an, an dem eine zusätzliche Berechnung des magnetischen Feldes durchgeführt werden soll. Dadurch erfährt man, wie schnell das Feld nach außen abnimmt. Alle weiteren Zeilen auf der ersten Seite des Rechenblatts sind berechnete Ergebnisse wie zum Beispiel die Feldstärke bei gegebenem Strom, die Induktivität, der Scheinwiderstand und vieles mehr. Zeilen mit Angaben, die Sie nicht weiter interessieren, können Sie wie bei jedem MS-Excel-Dokument selbstverständlich in ihrer installierten Version ausblenden. Dazu bitte mit der rechten Maustaste auf die Zeilennummer (ganz links im Rechenblatt) klicken und Option "Zeile ausblenden" wählen. Dadurch wird die Sache übersichtlicher. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
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Weitere Eigenschaften der Wicklung: Zeilen 17 bis 29
Diese Sektion gibt weitere Eigenschaften der Spule an, die äußerst nützlich sind. Zeile 17 gibt an, wieviel Meter Draht für die Wicklung überhaupt benötigt werden. Der Kupferquerschnitt des Drahtes ist (auch bei HF-Litzen) in Zeile 18 angegeben. Daraus ergibt sich der Scheinwiderstand der Spule, Zeile 21, und der rein ohmsche Widerstand, Zeile 23. Der Scheinwiderstand berücksichtigt neben dem ohmschen zusätzlich den induktiven Anteil, wenn die Spule also mit Wechselstrom gespeist wird. Auch die Abhängigkeit des ohmschen Widerstandes von der Betriebstemperatur ist einkalkuliert, sowie (bei Wechselstrom) der Skin-Effekt in den Drähten, der den ohmschen Widerstand ungünstig erhöht. Eine wichtige Zahl ist der Kupfer-Füllgrad in Zeile 25. Er gibt an, wieviel Prozent des geometrischen Wicklungsquerschnitts der Spulendraht ausfüllt. Bei einer effizienten Bemessung der Spule sollten hier 60 bis 70 Prozent stehen. Ist es weniger, dann ist der Kupferquerschnitt zu klein gewählt. Der ohmsche Widerstand ist dann unnötig groß. Eine Spule, die eine bestimmte Feldstärke erzeugen und den entsprechend hohen Erregerstrom durchleiten muss, erzeugt dann unnötig viel Wärme. Ist er größer als 70 Prozent, dann wird der Wickeldraht nicht in den geplanten Querschnitt hineinpassen. Man muss die Wicklung dann dicker oder länger machen. Das führt dazu, dass die magnetischen Feldlinien einen größere Länge L haben und dass die magnetische Feldstärke bei gegebenem Strom geringer ausfällt als erwartet. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
Wie funktioniert L-Culator? Hier kommt nun der L-Culator ins Spiel. In diesem MS-Excel-Rechenblatt ist die exakte Lösung implementiert, zumindest soweit es zylindrische Spulen betrifft, und sofern diese keinen ferromagnetischen Kern haben. Man gibt hier Innen- und Außendurchmesser, Länge und Windungszahl der Wicklung ein sowie die Stromstärke, und schon erhält man für die magnetische Feldstärke und die Induktion im Zentrum der Spule sowie an einer beliebigen Position entlang ihrer Mittelachse. Das berechnete Ergebnis ist auch dann noch exakt, wenn die Spule extrem lang und dünn ist, oder wenn sie um eine sehr flache, scheibenförmige Bauform hat. Man kann in Büchern und Internetseiten zur Elektrotechnik Näherungslösungen finden. Diese versagen jedoch in solchen Situationen, da sie implizit gewisse Annahmen über die Spulenform machen, die im einen oder anderen Extremfall ungültig werden. Ebenso verhält es sich mit der Induktivität der Spule, eine Größe, die vor allem bei Wechselstrombetrieb, Hochfrequenzspulen und in Schwingkreisen von zentraler Bedeutung ist. Wie die Feldtärke, die eine Spule in ihrem Innern erzeugt, ist auch ihre Induktivität eine Funktion der Spulenform und der Windungszahl (Wir sehen von Spulen mit Eisen- oder Ferritkern ab und betrachten allein "Luftspulen"). Das zu berechnende Integral ist nochmals um ein Vielfaches komplizierter. Aber auch hier bietet der L-Culator eine wenn auch nicht exakte, aber doch in den schwierigen Grenzfällen sehr genaue Näherungslösung des Problems an. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
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Feldstärke und Induktivität berechnen: Zeilen 36 bis 57
Zeile 36 und 38 geben die magnetische Feldstärke und Induktion im Zentrum der Spule bei der vorgesehenen Stromstärke an, wobingegen die in Zeile 39 und 42 erscheinenden Werte sich auf einen Punkt der Spulenachse beziehen, der vom Spulenzentrum den in Zeile 15 eingetragenen Abstand liegt. Wenn man diese Werte vergleicht, dann erfährt man, wie gleichförmig das erzeugte Magnetfeld ist. Das ist wichtig zu wissen, wenn man beispielsweise ein ausgedehntes Bauelement in die Spule legen und mit einem möglichst konstanten Magnetfeld beaufschlagen möchte, wie zum Beispiel in diesem Experiment. In Zeile 43 ist die Feldstärke noch einmal in logarithmischen Einheiten angegeben, nämlich in dBµA/m, wie sie bei der Feldstärkenmessung im Funkbetrieb üblich ist. Zeile 44 gibt noch einmal die Ausdehnung des Bereichs in der Spule an, innerhalb dessen die Feldstärke um nicht mehr als 10 % unter den Maximalwert im Zentrum absinkt. Schließlich gibt Zeile 48 die Induktivität der Spule an. Der berechnete Wert berücksichtigt gewisse Korrekturen, die vor allem bei flachen Spulen ins Gewicht fallen. Beispielsweise nimmt die magnetische Feldstärke (und damit die Dichte der Feldlinien) vom Zentrum der Spule zum Innenrand der Wicklung stets etwas zu, um dann im Innern der Wicklung auf Null zu sinken. Diese Randfelder tragen zur Induktivität der Spule bisweilen ganz erheblich bei. Die weiteren Zeilen geben die Klemmenspannung, Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung, die induktive Zeitkonstante und die magnetische Blindleistung an, die in der Spule zirkuliert (was vor allem in induktiven Leistungsschaltungen erheblich sein kann), sowie die thermische Verlustleistung der Wicklung. Ich habe dafür eine Frequenz von 1000 Hz in Zeile 11 eingetragen, denn sonst stünde hier fast überall Null. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
Schwingkreise: Zeilen 60 bis 67
In der letzten Sektion geht es um Schwingkreise, welche man mit der Spule aufbaut. Diese Daten hängen natürlich entscheidend von der Frequenzangabe in Zeile 11 ab. Zunächst gibt Zeile 60 die Kapazität an, die man der Spule parallelschalten müsste, um den Schwingkreis auf dieser Frequenz in Resonanz zu bringen. Für verlustfreie Spulen ergibt sich dieser Zusammenhang aus der Thomsonschen Formel aus Frequenz und Induktivität. Der exakte Wert kann davon jedoch deutlich abweichen, da in einer realen Spule aufgrund des ohmschen Widerstands und des Skin-Effekts Verluste entstehen. Diese Verschiebung kalkuliert der L-Culator ein. Zeile 61 ist die maximal erreichbare Güte des Schwingkreises, und Zeile 63 der Resonanzwiderstand. Dieser ist zugleich der Arbeitswiderstand für eine Röhre oder einen Transistor, der den Schwingkreis in seiner Anoden- oder Kollektorleitung hat und ihn ansteuern soll. Zeile 64 gibt das magnetische Dipolmoment der stromdurchflossenen Spule an. Dieses wird benötigt, um das magnetische Feld in einem gewissem Abstand von der Spule zu berechnen. Zeile 66 gibt dagegen die elektromagnetische Leistung der Kugelwelle im Fernfeld an, die also im Hochfrequenzbereich durch die Spule abgestrahlt würde, wenn man sie als Funkantenne eines Senders verwenden wollte. Diese Intensität ist in aller Regel außerordentlich klein, außer bei extrem hoher Frequenz. Zeile 67 gibt nun wiederum die Induktionsspannung an, die man an der Spule messen würde, wenn man sie einem magnetischen HF-Feld der angegebenen Frequenz aussetzen würde, das eine Induktion von 1 µT hat. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
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Wicklungsrekonstruktion durch Messung des Magnetfelds |
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Eine unbekannte Wicklung analysieren
Diesen alten Schalenkern, den ich aus dem Elektroschrott ausgelötet habe, wollte ich gern reaktivieren. Nach dem zerlegen fand ich, dass mindestens eine der beiden alten Wicklungen für meine Zwecke ganz o.k. sein könnte. "Ob die wohl 100 Windungen hat?" Nun, ich wollte sie nicht von Hand abwickeln, nur um die Windungen zu zählen. Doch mit Gaussmeter und L-Culator läßt sich das Problem auf elektrische Weise lösen.
Ich habe den Spulenträger mit der interessamten Wicklung zunächst ausgemessen. Der Wickelkörper, der in zwei gleiche Kammern geteilt ist, hat einen Durchmesser von 1,05 cm und ist 0,35 cm breit. Die interessierende Wicklung hatte einen Außendurchmesser von 1,55 cm. Ich habe sodann die Hall-Sonde des Gaussmeters in der Mitte dieser Spule justiert (genau wie oben) und Strom durch die Wicklung geschickt. Bei 1 A zeigte das Gaussmeter 8,43 mT. Alles klar. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
Berechnung der Windunszahl
Die Maße der Spule trage ich in die Zeilen 5, 6 und 7 ein (grüne Pfeile). Die Stromstärke kommt in Zeile 10 (schwarzer Pfeil). Ich messe mit Gleichstrom. Also kommt in Feld 11 der Wert "0 Hz". Man kann im L-Culator nun nicht die gemessene Feldstärke einstellen, sondern, wenn Spulenmaße und Strom feststehen, eigentlich nur noch eine Windungszahl in Zeile 9 eintragen (blauer Pfeil) und so lange probieren, bis die magnetische Flussdichte in Zeile 38 stimmt (roter Pfeil). Mit 88 Windungen in Zeile 9 war ich am Ziel. 8,40 mT zeigte mir der L-Culator an. Ein Nebenresultat: ich hatte die Drahtstärke mit der Schiebelehre zu 0,3 mm bestimmt. Das ist aber immer etwas ungenau. Ich kann das mit dem L-Culator auf zwei Wegen prüfen. Erstens: der Spulenwiderstand. Je dünner der Draht, desto höher ist bei gegebener Windunszahl der Widerstand. Zeile 21 und 23 zeigen 0,93 Ohm. Das konnte ich durch Spannungsmessung bestätigen. Zweitens: der Kupfer-Füllgrad der Kammer ergab 71 %, siehe Zeile 25. Das schien mir plausibel, zumal die Wicklung war ziemlich ordentlich und dicht aufgebracht worden. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
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Wie man den Aufbau einer Relaisspule mittels Resonanz rekonstruiert |
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Eine neue Aufgabe für eine alte Spule
Hierzu benötigt man neben einem Frequenzgenerator ein Ohmmeter und ein paar Kleinteile fürs Steckbrett, darunter einen Si-Transistor. Das Bild zeigt ein Relais zur Fahrtrichtungsumschaltung, wie er früher in den Spur-H0-Lokomotiven der Spielzeugherstellers Märklin eingebaut war. Es ist ein alternierendes Relais, das durch Spannungsimpulse von 24 V betätigt wird. Heute sind solche Relais obsolet, weil bei der Modelleisenbahn nun die Digitalsteuerung Standard ist. Ich habe mehrere solche Relais in meiner Bastelkiste liegen. Sie besitzen eine sehr bemerkenswerte Relaisspule, die aus sehr dünnem Draht gewickelt ist. Ich wollte wissen, wie sie beschaffen ist und was man damit anfangen kann. Das Ohmmeter zeigte jedenfalls einen Widerstand von 100 Ω. Frequenz-Generator anschließen: Daher habe ich die Spule ausgebaut, das eiserne Magnetjoch entfernt und die Spule mit verschiedenen Kondensatoren zu einem Schwingkreis zusammengeschaltet. Dann habe ich den Schwingkreis jeweils an einen Labor-Frequenzgenerator angeschlossen, der den Bereich von 10 Hz bis 100 kHz überstreicht, und diesen auf die Resonanzfrequenz abgestimmt. Aus dieser und der bekannten Kapazität Cn lässt sich die Induktivität berechnen. Das geht zwar mit der erwähnten Thomsonschen Formel, aber der L-Culator rechnet präziser, und man erfährt noch sehr viel mehr über die Spule.
Hochohmige Ansteuerung des Schwingkreises: Eine Sache sollte man unbedingt beachten: der Ausgang des Signalgenerators hat eine sehr niedrige Impedanz. Klemmt man ihn direkt an den Schwingkreis an, dann dämpft er dessen Resonanz bis zur Unkenntlichkeit. Man benötigt daher eine Zwischenstufe mit hoher Ausgangsimpedanz, die den Schwingkreis nicht belastet. Ich habe dazu in einem fliegenden Aufbau mit einem npn-Siliziumtransistor BC109C (andere gebräuchliche Typen gingen ebenso) eine Transistorstufe aufgebaut, die das Generatorsignal entsprechend transformiert (siehe Schaltplan). Der Schwingkreis wird in den Kollektor-Stromkreis des Transistors gelegt. Dieser hat die gewünschte, sehr hohe Impedanz.
Resonanzfrequenz präzise messen: Mit dem 2-Kanal-Oszi messe ich dann die Kollektorspannung sowie die Spannung am Emitter-Widerstand. Diese ist zum (negativen) Kollektorstrom praktisch proportional. Die Signalamplitude des Frequenzgenerators wird so eingestellt, dass er die Transistorstufe nicht übersteuert und ein klares Sinussignal erscheint. Die Resonanz ist erreicht, wenn Kollektorstrom und -spannung phasengleich sind. Die Lissajous-Ellipse in der x-y-Darstellung (Oszillogramm rechts) kollabiert dann zu einer 45°-Linie. Außerdem durchläuft die Spannungsamplude am Kollektor ein klares Maximum (Oszillogramm links). |
Rekonstruktion mit dem L-Culators
Eine erste Messung an der Spule, zu der Cn = 4,7 nF parallel geschaltet waren, ergab eine Resonanzfrequenz von 22,48 kHz. Windungszahl und Drahtdurchmesser: Die Maße der Spule sowie diese Frequnz wurden in die Zeilen 5, 6, 7 eingetragen, doch die Frequenz in Feld 11 wurde zunächst auf Null belassen. Nun wurden die Windungszahl in Feld 9 sowie der Drahtdurchmesser in Feld 12 so eingestellt, dass der Verlustwiderstand in Fled 23 möglichst genau an die gemessenen 100 Ω herankamen und andererseits der Kupfer-Füllgrad in Zeile 25 einen plausiblen Wert erreichte. Nach einigen Versuchen erhielt ich mit 1800 Windungen und 0,1 mm starkem Wichlungsdraht (was auch durchaus dem Augenschein entsprach) am Ziel. Der finale Check - Berechnung des Kondensators: Nunmehr setzte ich in Zeile 11 die gemessene Resonanzfrequenz von 22,48 kHz ein. Ich erhielt eine Schwingkreiskapazität von 4,592 nF (Zeile 60). Das entspricht unter Berücksichtigung der Toleranzen dem 4,7-nF-Kondensator. Die angenommene Windungszahl von 1800 liegt also ziemlich nahe an der Realität. Als Induktivität berechnete der L-Culator in Zeile 48 einen Wert von 10,89 mH. Zur Überprüfung wiederholte ich die Messung mit einem Kondensator von 100 nF. Diesmal zeigte das Oszi eine Resonanzfrequenz von nur 4,73 kHz an. Ich änderte den Eintrag in Zeile 11 auf diesen Wert. Der L-Culators berechnete für Cn sofort einen Wert von 99,6 nF, ein Volltreffer! Dass es dann allerdings auf 0,4 % genau herauskommt, halte ich selbst für einen glücklichen Zufall. Außerdem führt der L-Culator hier nicht bloß eine einfache Dreisatzrechnung durch. Es fließen viele Korrekturfaktoren wie zum Beispiel eine Resonanzerschiebung aufgrund der ohmschen Verluste ein, die bei 4,7 und 22,4 kHz unterschiedlich sind. Skin-Effekt: So unterscheidet sich der ohmsche Widerstand der Spule laut L-Culator bei 4,73 kHz (95,01 Ω) von dem bei 22,48 kHz (98,23 Ω). Er steigt mit zunehmender Frequenz als Folge des Skin-Effekts im Kupferdraht an. Zurück zum Inhaltsverzeichnis |
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Nicola Teslas drahtlose Energieübertragung: wäre sie realisierbar gewesen? |
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Die drahtlose Energieübertragung Teslas
Im Jahr 1900 erwarb der kroatisch-amerikanische Forscher Nicola Tesla das US-Patent US645576, "System of Transmission of Electrical Energy". Darin geht es darum, elektrische Energie mittels Strahlung durch die Atmosphäre oder durch den leeren Raum in großer Menge über große Distanzen zu übertragen, um beispielsweise Schiffe und Flugzeuge mit der notwendigen Antriebsenergie zu erzeugen. Zentraler Bestandteil dieses Prinzip ist eine riesige Sendespule, die durch einen Hochfrequenzgenerator gespeist wird. Damals, als es weder Röhren noch Halbleiter gab, war das ein vielpoliger Stromgenerator für Wechselspannung, der von einer Dampfmaschine auf Hochtouren gebracht wurde. Die Spule des Schwingkreises sandte die elektromagnetische Energie über ihr Dipolfeld in den Raum. Der Empfänger, also ein Schiff auf hoher See oder ein hoch in der Luft vorbeifliegendes Flugzeug, sollte einen kleineren, abgestimmten Resonanzkreis mitführen, der aus diesem Fernfeld der Senderspule Energie entnahmt und an Bord zur Verfügung stellte. Tesla konnte dieses Projekt allerdings nie in großem Stil realisieren. Er entwarf aber kleine Demonstratoren. Der Entwurf einer Spule ist zusammen mit dem Erfinder in dem obigen Bild zu sehen. Wir hier fragen uns nun, wie Teslas Sendespule hätte Ausgelegt sein müssen, um wirklich große Energiemengen nach diesem Prinzip zu übertragen. Dazu nutzen wir den L-Culator. |
So könnte das im Großen ausgesehen haben:
Ich habe mir bei der Planung zuerst diese technischen Randbedingungen einer solchen Anlage überlegt:
Selbstverständlich besteht noch sehr viel Spielraum bei der Gestaltung. Es handelt sich hier, wie gesagt, um einen ersten Entwurf, der sich an dem US-Patent von 1900 orientiert. Einige weitere Einzelheiten möchte ich erwähnen:
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Unser Entwurf für den Sender: Um mit dem L-Culator einen Entwurf für eine solche Anlage zu machen, der technisch und wirtschaftlich zumindest diskutabel erscheint, habe ich mit den Maßen, der Windungszahl und der Option gespielt, die Windungen in viele Einzeldrähte aufzuteilen. Das ist nach einigen Optimierungsschritten herausgekommen:
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